От простого к сложному

Рассмотрим задачу. Дана матрица линейного оператора:

Необходимо найти собственные значения, собственные и присоединённые векторы матрицы, а также вид матрицы в базисе из собственных и присоединённых векторов.

Решение:

На первом шаге найдем собственные значения через характеристическое уравнение

В нашем случае

Вычислим определитель 3 степени и приравняем к 0, получим характеристическое уравнение:

Корнями данного уравнения являются

Это и есть наши собственные значения.

На втором шаге найдем собственные векторы.

Для λ = 3 решим систему (A−3I)v=0.

Решив систему, получим собственный вектор

Для λ=5 решим систему (A−5I)v=0:

Решив, получаем второй собственный вектор

На шаге 3 найдем присоединенный вектор.

Для λ=3 (кратности 2) размерность собственного подпространства равна 1, поэтому требуется присоединённый вектор.

Для этого решим систему 

Произведя несложные вычисления получим присоединенный вектор

Теперь смело можно переходить к построению матрицы в новом базисе

Запишем матрицу перехода 

Матрица в новом базисе вычисляется по формуле

Наша матрица в новом базисе имеет вид: 

Таким образом, поставленная перед нами задача решена. Применяя представленный алгоритм можно решить и другие аналогичные задачи.